Задание D24A93: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x − 1)² < √2 · (x − 1).
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x − 1)² − (√2 · (x − 1)) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 1) · (x − √2 − 1); требуется f(x) < 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один линейный множитель равен нулю:
x − √2 − 1 = 0, откуда x = 1 + √2.
x − 1 = 0, откуда x = 1.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 1, 1 + √2.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 1): при x = 0 получаем f(x) = 1 + √2, знак положителен.
(1; 1 + √2): при x = 2 получаем f(x) = 1 − √2, знак отрицателен.
(1 + √2; +∞): при x = 4 получаем f(x) = 9 − 3 · √2, знак положителен.
x = 1 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 1 + √2 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (1; 1 + √2).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (1; 1 + √2).