Задание 190CD6: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x − 3)² < √5 · (x − 3).
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x − 3)² − (√5 · (x − 3)) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 3) · (x − 3 − √5); требуется f(x) < 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один линейный множитель равен нулю:
x − 3 − √5 = 0, откуда x = 3 + √5.
x − 3 = 0, откуда x = 3.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 3, 3 + √5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 3): при x = 2 получаем f(x) = 1 + √5, знак положителен.
(3; 3 + √5): при x = 4 получаем f(x) = 1 − √5, знак отрицателен.
(3 + √5; +∞): при x = 7 получаем f(x) = 16 − 4 · √5, знак положителен.
x = 3 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 3 + √5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (3; 3 + √5).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (3; 3 + √5).