Задание CCDD0E: Геометрические фигуры и их свойства

1. Обозначим BH высоту из B, где H лежит на прямой AC, а M — точку её пересечения с биссектрисой угла A. По условию BM : MH = 25 : 24, причём M лежит между B и H. Поэтому луч AH совпадает с AC, а угол A острый: в прямоугольном треугольнике ABH биссектриса из A проходит через M.

2. По теореме о биссектрисе в треугольнике ABH имеем AB : AH = BM : MH = 25 : 24. Следовательно, cos A = AHAB = 2425.

3. Найдём синус по основному тригонометрическому тождеству. Так как угол A острый, синус положителен:

sin A = √1 − cos² A = √25² − 24²25 = √4925 = 725.

4. По расширенной теореме синусов BC = 2R sin A, где R — радиус описанной окружности. Отсюда R = BC2 sin A.

Подставляем: R = 14 · 252 · 7 = 25.

Проверка: 2R sin A = 2 · 25 · 725 = 14 = BC. Также 24² + 7² = 25², поэтому найденные синус и косинус удовлетворяют основному тождеству.

Ответ: 25.