Задание CAC621: Треугольник

1. Обозначим сторону равностороннего треугольника через a, высоту через h, радиусы вписанной и описанной окружностей через r и R. Медиана и биссектриса в таком треугольнике совпадают с высотой.

2. Высота делит сторону пополам. По теореме Пифагора h² = a² − (a2)² = 3a²4, поэтому h = a√32. Центр окружностей совпадает с точкой пересечения медиан: r = h3 = a√36, R = 2h3 = a√33.

3. Дано r = 7√3. Выражаем сторону: a = 6r√3 = 6 · 7√3√3 = 42.

Проверка: при a = 42 получаем r = 42√36 = 7√3, что совпадает с условием.

Ответ: 42.