Задание C97E6E: Оптика

1. Модель: нормальное падение белого света на решётку, тонкая линза вплотную к ней и экран в задней фокальной плоскости. Ox направим по падающему свету, Oy — вдоль экрана от центрального максимума. Параллельные лучи одной длины волны и одного порядка k сходятся в своей точке экрана. Искомое расстояние до экрана равно фокусному расстоянию F. Механические силы в расчёт не входят.
2. На отрезке 1 см находится N=500 штрихов. Период решётки
d = 0,01 мN.
Подстановка:
d = 0,01 м500 = 2·10⁻⁵ м.
Условие максимума d sin φ = kλ и малые углы дают y≈Fkλ÷d. Поэтому для одного и того же порядка координаты красного и фиолетового краёв равны y_к≈Fkλ_к÷d и y_ф≈Fkλ_ф÷d.
3. Ширина спектра — разность координат его краёв, а не удвоенное расстояние от центра:
Δy = y_к − y_ф = Fk(λ_к − λ_ф)d.
Следовательно,
F = dΔyk(λ_к − λ_ф).
Подстановка:
F = 2·10⁻⁵ м·0,12 м3·(8·10⁻⁷ м − 4·10⁻⁷ м) = 2 м.
4. На рисунке фиолетовый край данного порядка ближе к оси, красный дальше: при одинаковом k большая λ означает больший угол дифракции. Линза фокусирует два соответствующих пучка в края спектра на экране.
Проверка. При F=2 м координаты краёв в приближении малых углов равны y_ф=0.12 м и y_к=0.24 м; разность 0,12 м совпадает с условием. Для красного края sin φ=0,12, что согласуется с малым углом. Переход от 500 штрихов на сантиметр к периоду выполнен в метрах; потеря множителя 0,01 изменила бы ответ в сто раз.

Ответ: Расстояние от линзы до экрана равно 2 м.