Задание C7733C: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (9 − x) · (x² − 81) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (9 − x) · (x² − 81) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 81 = (x − 9) · (x + 9).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −(x − 9)² · (x + 9); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −9, 9.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −9): при x = −10 получаем f(x) = 361, знак положителен.
(−9; 9): при x = −8 получаем f(x) = −289, знак отрицателен.
(9; +∞): при x = 10 получаем f(x) = −19, знак отрицателен.
x = −9 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 9 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −9] ∪ {9}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −9] ∪ {9}.