Задание 50BC38: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 49 · x² ≥ 36.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: 49 · x² − (36) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (7 · x − 6) · (7 · x + 6); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −67, 67.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −67): при x = −2 получаем f(x) = 160, знак положителен.
(−67; 67): при x = 0 получаем f(x) = −36, знак отрицателен.
(67; +∞): при x = 2 получаем f(x) = 160, знак положителен.
x = −67 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 67 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −67] ∪ [67; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −67] ∪ [67; +∞) соответствует вариант 4.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 4.