Задание C6653F: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(0,5x²−2x) · |x|x−4.

Область определения: x ≠ 4. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Выносим в числителе общий множитель: квадратный многочлен равен 12x(x − 4). После сокращения множителя (x − 4) получаем y = 12x|x| при x ≠ 4.

2. При x < 0 имеем |x| = −x, поэтому y = −12x²; при x ≥ 0 получаем y = 12x². Обе части строго возрастают и соединяются в начале координат. Полный график принимает каждое действительное значение ровно один раз.

Исключённому аргументу x = 4 соответствует значение y = 12 · (4) · |4| = 8. На графике эту точку выкалываем. Другой точки с такой же ординатой нет из-за строгого возрастания.

3. Горизонтальная прямая не пересекает исходный график только при m = 8. При любом другом m единственная точка полного графика сохраняется.

Проверка: пропущенное значение получается только при запрещённом x = 4, а точка (0; 0) остаётся в области определения.

Ответ: m ∈ {8}.