Задание C415E2: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(x²+3x) · |x|x+3.

Область определения: x ≠ −3. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Выносим в числителе общий множитель: квадратный многочлен равен 1x(x + 3). После сокращения множителя (x + 3) получаем y = 1x|x| при x ≠ −3.

2. При x < 0 имеем |x| = −x, поэтому y = −x²; при x ≥ 0 получаем y = x². Обе части строго возрастают и соединяются в начале координат. Полный график принимает каждое действительное значение ровно один раз.

Исключённому аргументу x = −3 соответствует значение y = 1 · (−3) · |−3| = −9. На графике эту точку выкалываем. Другой точки с такой же ординатой нет из-за строгого возрастания.

3. Горизонтальная прямая не пересекает исходный график только при m = −9. При любом другом m единственная точка полного графика сохраняется.

Проверка: пропущенное значение получается только при запрещённом x = −3, а точка (0; 0) остаётся в области определения.

Ответ: m ∈ {−9}.