Задание C1266B: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=−5−x−2x²−2x.

Область определения: x ≠ 0, x ≠ 2. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

В дробной части знаменатель равен x, умноженному на её числитель. Сокращение даёт y = −5 − 1x с прежними ограничениями. Получаем гиперболу с асимптотами x = 0, y = −5 и выколотой точкой (2; −112).

2. Решим уравнение пересечения: −5 − 1x = m. При m = −5 оно невозможно, так как обратное ненулевому числу не равно нулю.

При m ≠ −5 существует ровно один кандидат x = 1−5 − m. Он ненулевой и будет исключён только при x = 2. Подстановка даёт m = −5 − 12 = −112.

Проверка: одно найденное значение — ордината горизонтальной асимптоты, второе — ордината единственной удалённой точки. Для всех остальных m найденный x допустим, поэтому пересечение есть.

Ответ: m ∈ {−112; −5}.