Задание C0E083: Треугольник

1. Точка M равноудалена от всех вершин, значит она является центром окружности, проходящей через A, B, C, D. Так как M — середина AD, сторона AD является диаметром этой окружности.

2. Углы ABD и ACD опираются на диаметр, поэтому равны 90°. Диагональ AC проходит внутри угла BCD выпуклого четырёхугольника, откуда ∠BCA = ∠BCD − ∠ACD.

3. Получаем ∠BCA = 94° − 90° = 4°. В треугольнике ABC угол BAC = 180° − 116° − 4° = 60°.

4. По расширенной теореме синусов BC = 2R sin∠BAC. Диаметр AD = 2R, поэтому AD = BCsin∠BAC = 9√32 = 6√3.

Проверка: AD · sin 60° = 6√3 · √32 = 9 = BC; выбранная окружность имеет центр в середине AD, как требует условие.

Ответ: 6√3.