Задание BE20F1: Треугольник

1. Обозначим центры окружностей O₁ и O₂, их радиусы r = 45, R = 90. Из внешнего касания O₁O₂ = r + R = 135. Точки A, B и C, D — точки касания двух общих внешних касательных с первой и второй окружностями.

2. Радиусы, проведённые к точкам одной касательной, параллельны и перпендикулярны ей. Проведём через O₁ прямую, параллельную касательной. Вместе с O₁O₂ и разностью радиусов она образует прямоугольный треугольник. Если α — угол между O₁O₂ и касательной, то sin α = R − rR + r.

3. Общие касательные симметричны относительно линии центров. Поэтому AB и CD перпендикулярны линии центров. Проекции радиусов к точкам касания на линию центров имеют длины r sin α и R sin α и направлены в одну сторону. Разность этих проекций уменьшает расстояние между хордами на (R − r) sin α.

4. Искомое расстояние равно (R + r) − (R − r)²R + r = 4rRR + r = 4 · 45 · 90135 = 120.

Проверка: разность между расстоянием центров и ответом равна (90 − 45)²135 = 15; обе параллельные хорды расположены согласно проекциям радиусов.

Ответ: 120.