Задание B6E3CB: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(3⁻¹⁰)⁻¹ = 3¹⁰.
(3⁸)⁻¹ = 3⁻⁸.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 3: 10 − 8 = 2.
После сокращения получаем 3².
3² = 9.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 59049, знаменатель — 6561. Их отношение: 590496561 = 9.
Получено то же значение 9. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 9.