Задание B2605C: Механика

Модель. Грузы — материальные точки, нить лёгкая и нерастяжимая, поверхность сферы гладкая. Используем инерциальную систему Земли. Радиус сферы обозначим R, угол пройденной дуги θ = 30° = π · 6⁻¹ рад. Нить скользит по сфере, поэтому её натяжение T одинаково по всей длине, а модули скоростей грузов одинаковы.

На груз m действуют mg вниз, реакция N по радиусу наружу и натяжение T по касательной в сторону движения. На груз M действуют Mg вниз и T вверх. Для m выберем нормаль n к центру и касательную τ по движению, для M — вертикаль вниз. Проекции Ньютона:
mg cosθ − N = mv²R,
mg sinθ + T = ma_τ,
Mg − T = Ma_τ.
В момент отрыва N = 0, откуда v² = gR cosθ.

Пока малый груз проходит дугу Rθ, свободный груз опускается на ту же длину Rθ. При этом груз m опускается на R(1 − cosθ). Реакция сферы работы не совершает, работы натяжений взаимно компенсируются. Закон сохранения энергии всей системы:
mgR(1 − cosθ) + MgRθ = (m + M)v²2.
Подставим условие отрыва и сократим gR:
2m(1 − cosθ) + 2Mθ = (m + M)cosθ,
M(2θ − cosθ) = m(3cosθ − 2),
M = m(3cosθ − 2)2θ − cosθ.

Подстановка:
M = 0,100 кг · (3cos30° − 2)π · 3⁻¹ − cos30° ≈ 0,330 кг.

Проверка. Обе части энергетического равенства после деления на gR равны примерно 0,186 кг. Натяжение перед отрывом положительно. До θ = 30° величина реакции уменьшается непрерывно и впервые обращается в ноль: производная выражения N, делённого на mg, отрицательна при θ > 0. Поэтому найденное событие действительно является первым отрывом, а не недостижимым состоянием.