Задание AF5155: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: x ≤ 16x.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 0. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: x − (16x) ≤ 0.
Приведём к общему знаменателю, сохраняя исходные ограничения:
(x) · (x) − (16) · (1)(1) · (x) ≤ 0.
После раскрытия скобок и приведения подобных:
x² − 16x ≤ 0.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 4) · (x + 4)x; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 0, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = −1,8, знак отрицателен.
(−4; 0): при x = −3 получаем f(x) = 73, знак положителен.
(0; 4): при x = 1 получаем f(x) = −15, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 1,8, знак положителен.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 0 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −4] ∪ (0; 4].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −4] ∪ (0; 4].