Задание AA39FE: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 1004 = 25, a + b = 50. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 50025 = 20.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √625 − 400 = 15. Тогда b = c − x = 10, a = c + x = 40.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 20 · 1050 = 4.

Проверка: основания 40 и 10 вместе с двумя сторонами 25 дают периметр 100; полусумма оснований, умноженная на высоту 20, даёт площадь 500.

Ответ: 4.