Задание A60833: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Область допустимых значений — все действительные числа: обе части уравнения являются многочленами. Найдём все корни. Используем группировку слагаемых, чтобы выделить общий множитель.

2. Перенесём правую часть в левую с изменением знаков.
x³ + 4x² − 4x − 16 = 0.
x²(x + 4) − 4(x + 4) = 0.
(x + 4)(x² − 4) = 0.
Группировка верна, поскольку 4 · 4 = 16. На выражение x + 4 не делим: оно может быть равно нулю.

3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
x + 4 = 0 или x² − 4 = 0.
Из первого уравнения x = −4. Из второго x² = 4 = 2², поэтому x = −2 или x = 2. Все три корня различны. Других корней нет, поскольку выполненные преобразования равносильны.

4. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −4: левая часть равна (−4)³ + 4 · (−4)² = 0; правая часть равна 4 · (−4) + 16 = 0.
x = −2: левая часть равна (−2)³ + 4 · (−2)² = 8; правая часть равна 4 · (−2) + 16 = 8.
x = 2: левая часть равна 2³ + 4 · 2² = 24; правая часть равна 4 · 2 + 16 = 24.
Во всех трёх случаях левая и правая части совпадают. Ограничений, исключающих эти значения, нет.

Ответ: −4; −2; 2.