Задание A172F9: Треугольник

1. Угол между пересекающимися внутри окружности хордами равен половине суммы дуг, на которые опираются этот угол и вертикальный ему угол. Поэтому сумма дуг AB и CD, не содержащих остальных вершин, равна 2 · 60° = 120°.

2. Отложим на окружности после B в направлении от A через B дугу BP, равную указанной дуге CD. Тогда BP = CD как хорды равных дуг, а дуга ABP равна 120°. Вписанный угол ABP опирается на оставшуюся дугу AP величиной 240° и равен 120°.

3. В треугольнике ABP по теореме косинусов AP² = AB² + BP² − 2 · AB · BP cos 120°. Так как cos 120° = −12, получаем AP² = 40² + 10² + 40 · 10 = 2100.

4. Этот треугольник вписан в ту же окружность. По теореме синусов AP = 2R sin 120° = R√3. Значит, 3R² = 2100, откуда R = 10√7.

Проверка: 3R² = 2100 = AB² + CD² + AB · CD. Построенная дуга 120° даёт нужный угол между исходными диагоналями.

Ответ: 10√7.