Задание A06C64: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Область допустимых значений — все действительные числа: обе части уравнения являются многочленами. Найдём все корни. Используем группировку слагаемых, чтобы выделить общий множитель.

2. Перенесём правую часть в левую с изменением знаков.
x³ + 6x² − 9x − 54 = 0.
x²(x + 6) − 9(x + 6) = 0.
(x + 6)(x² − 9) = 0.
Группировка верна, поскольку 9 · 6 = 54. На выражение x + 6 не делим: оно может быть равно нулю.

3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
x + 6 = 0 или x² − 9 = 0.
Из первого уравнения x = −6. Из второго x² = 9 = 3², поэтому x = −3 или x = 3. Все три корня различны. Других корней нет, поскольку выполненные преобразования равносильны.

4. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −6: левая часть равна (−6)³ + 6 · (−6)² = 0; правая часть равна 9 · (−6) + 54 = 0.
x = −3: левая часть равна (−3)³ + 6 · (−3)² = 27; правая часть равна 9 · (−3) + 54 = 27.
x = 3: левая часть равна 3³ + 6 · 3² = 81; правая часть равна 9 · 3 + 54 = 81.
Во всех трёх случаях левая и правая части совпадают. Ограничений, исключающих эти значения, нет.

Ответ: −6; −3; 3.