Задание 9FFCAD: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 204 = 5, a + b = 10. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 205 = 4.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √25 − 16 = 3. Тогда b = c − x = 2, a = c + x = 8.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 4 · 210 = 0,8.

Проверка: основания 8 и 2 вместе с двумя сторонами 5 дают периметр 20; полусумма оснований, умноженная на высоту 4, даёт площадь 20.

Ответ: 0,8.