Задание 991A27: Многоугольники

1. Проведём из точки M перпендикуляры к прямым AB, AD и CD. Их длины и есть расстояния от точки до этих прямых.

2. Точка M лежит на биссектрисе угла A, поэтому расстояния от неё до прямых AB и AD равны. Действительно, два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу от вершины угла до M и равные острые углы при этой вершине.

3. Аналогично из принадлежности M биссектрисе угла D следует равенство расстояний до AD и CD.

4. Оба равенства содержат расстояние до общей прямой AD. Следовательно, все три расстояния равны: точка M равноудалена от указанных прямых.

Проверка: сравниваются длины перпендикуляров к прямым, поэтому доказательство сохраняется и тогда, когда основание перпендикуляра попадает на продолжение стороны.

Ответ: Доказано.