Задание 987228: Треугольник

1. Обозначим O точку пересечения диагоналей. Диагонали ромба являются биссектрисами, поэтому O равноудалена от всех четырёх сторон. Пусть данная диагональ — AC. Диагонали ромба делятся пополам, поэтому OA = AC2 = 402 = 20.

2. Опустим OH перпендикулярно стороне AB. Расстояние OH = 10; треугольник AOH прямоугольный. Для угла OAH имеем sin∠OAH = OHOA = 1020 = 12. Угол OAH острый, поэтому он равен 30°.

3. Диагональ AC является биссектрисой угла A, значит ∠A = 2 · 30° = 60°. Соседний угол B = 180° − 60° = 120°. Противоположные углы ромба равны.

Проверка: в прямоугольном треугольнике AOH катет, лежащий против 30°, равен половине гипотенузы: 202 = 10. Четыре угла 60°, 120°, 60°, 120° в сумме дают 360°.

Ответ: 60° и 120°.