Задание 9600B6: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(0,75x²+0,75x) · |x|x+1.

Область определения: x ≠ −1. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Выносим в числителе общий множитель: квадратный многочлен равен 34x(x + 1). После сокращения множителя (x + 1) получаем y = 34x|x| при x ≠ −1.

2. При x < 0 имеем |x| = −x, поэтому y = −34x²; при x ≥ 0 получаем y = 34x². Обе части строго возрастают и соединяются в начале координат. Полный график принимает каждое действительное значение ровно один раз.

Исключённому аргументу x = −1 соответствует значение y = 34 · (−1) · |−1| = −34. На графике эту точку выкалываем. Другой точки с такой же ординатой нет из-за строгого возрастания.

3. Горизонтальная прямая не пересекает исходный график только при m = −34. При любом другом m единственная точка полного графика сохраняется.

Проверка: пропущенное значение получается только при запрещённом x = −1, а точка (0; 0) остаётся в области определения.

Ответ: m ∈ {−34}.