Задание 942ADF: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(x²+4)(x−1)1−x.

Область определения: x ≠ 1. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Множители (x − 1) и (1 − x) противоположны, поэтому после сокращения y = −x² − 4, x ≠ 1. Это парабола с вершиной (0; −4), ветвями вниз и выколотой точкой (1; −5).

2. Точки пересечения с y = kx удовлетворяют уравнению −x² − 4 = kx, то есть x² + kx + 4 = 0. Дискриминант D = k² − 16.

При D < 0 пересечений нет. При D = 0 получаем k = ±4 и единственный корень x = −k2. Для k = −4 корень равен 2, для k = 4 — −2. Оба корня отличаются от запрещённого 1, поэтому оба значения k подходят.

При D > 0 есть два различных корня. Ровно одно пересечение останется лишь тогда, когда один корень равен исключённому h = 1. Подставляем его: h² + kh + 4 = 0, откуда k = −h² + 4h = −5. Второй корень по произведению корней равен 4 и допустим.

Проверка: для k = −5 дискриминант равен 9 > 0; корни 1 и 4 различны. Первый удалён из графика, второй остаётся. Других способов получить ровно одну точку нет.

Ответ: k ∈ {−5; −4; 4}.