Задание 93DEA8: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(3⁻⁸)⁻¹ = 3⁸.
(3⁷)⁻¹ = 3⁻⁷.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 3: 8 − 7 = 1.
После сокращения получаем 3.
3 = 3.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 6561, знаменатель — 2187. Их отношение: 65612187 = 3.
Получено то же значение 3. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 3.