Задание 9329E9: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (3 − x) · (x² − 9) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (3 − x) · (x² − 9) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 9 = (x − 3) · (x + 3).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −(x − 3)² · (x + 3); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −3, 3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −3): при x = −4 получаем f(x) = 49, знак положителен.
(−3; 3): при x = −2 получаем f(x) = −25, знак отрицателен.
(3; +∞): при x = 4 получаем f(x) = −7, знак отрицателен.
x = −3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −3] ∪ {3}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −3] ∪ {3}.