Задание 8FF426: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: (0; 7). Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² − 49 < 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 49 − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 49 = (x − 7) · (x + 7).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 7) · (x + 7); требуется f(x) < 0.
Критические точки в порядке возрастания: −7, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −7): при x = −8 получаем f(x) = 15, знак положителен.
(−7; 7): при x = −6 получаем f(x) = −13, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 15, знак положителен.
x = −7 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 7 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−7; 7).

3. Вариант 2: x² − 7 · x < 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 7 · x − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 7 · x = x · (x − 7).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x · (x − 7); требуется f(x) < 0.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = 8, знак положителен.
(0; 7): при x = 1 получаем f(x) = −6, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 8, знак положителен.
x = 0 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 7 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (0; 7).

4. Вариант 3: x² − 49 > 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 49 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 49 = (x − 7) · (x + 7).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 7) · (x + 7); требуется f(x) > 0.
Критические точки в порядке возрастания: −7, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −7): при x = −8 получаем f(x) = 15, знак положителен.
(−7; 7): при x = −6 получаем f(x) = −13, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 15, знак положителен.
x = −7 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 7 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−∞; −7) ∪ (7; +∞).

5. Вариант 4: x² − 7 · x > 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 7 · x − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 7 · x = x · (x − 7).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x · (x − 7); требуется f(x) > 0.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = 8, знак положителен.
(0; 7): при x = 1 получаем f(x) = −6, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 8, знак положителен.
x = 0 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 7 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−∞; 0) ∪ (7; +∞).

6. Только вариант 2 даёт в точности отмеченное на рисунке множество (0; 7).

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (0; 7) соответствует вариант 2.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 2.