Задание 3CD425: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: x − x² ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: x − x² − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
−x² + x = −x · (x − 1).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −x · (x − 1); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 1.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = −2, знак отрицателен.
(0; 1): при x = 0,5 получаем f(x) = 0,25, знак положителен.
(1; +∞): при x = 2 получаем f(x) = −2, знак отрицателен.
x = 0 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 1 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [0; 1].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству [0; 1] соответствует вариант 4.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 4.