Задание 8E25DC: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=2x+52x²+5x.

Область определения: x ≠ −52, x ≠ 0. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Знаменатель равен произведению x на числитель. После сокращения общего линейного множителя получаем y = 1x, сохраняя оба исключения. Это гипербола с выколотой точкой (−52; −25).

2. Пересечения с прямой y = kx определяются уравнением 1x = kx, откуда kx² = 1. При k ≤ 0 действительных корней нет. При k > 0 корни x = ±1√k различны и ненулевые.

3. Чтобы осталось ровно одно пересечение, один корень должен совпасть с исключённым h = −52. Тогда kh² = 1, значит k = 1h² = 425. Второй корень x = −h = 52 остаётся допустимым.

Проверка: при k = 425 обе исходные формулы в допустимой точке x = 52 дают y = 25. При любом другом положительном k сохраняются два пересечения.

Ответ: k ∈ {425}.