Задание 8E13D9: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x² − x − 6) · (x² − 8 · x + 15) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x² − x − 6) · (x² − 8 · x + 15) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − x − 6 = (x − 3) · (x + 2).
x² − 8 · x + 15 = (x − 5) · (x − 3).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5) · (x − 3)² · (x + 2); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −2, 3, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −2): при x = −3 получаем f(x) = 288, знак положителен.
(−2; 3): при x = −1 получаем f(x) = −96, знак отрицателен.
(3; 5): при x = 4 получаем f(x) = −6, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 72, знак положителен.
x = −2 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −2] ∪ {3} ∪ [5; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −2] ∪ {3} ∪ [5; +∞).