Задание 8A552E: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=3|x+8|−x²−14x−48.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = −x² − 17x − 72 при x < −8. Выделяем квадрат: y = −(x + 172)² + 14. Вершина полной параболы: (−172; 14), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = −172 ± √−m + 14; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−8; 0) выколота.

Ветвь 2: y = −x² − 11x − 24 при x ≥ −8. Выделяем квадрат: y = −(x + 112)² + 254. Вершина полной параболы: (−112; 254), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = −112 ± √−m + 254; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−8; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это 0, 14, 254. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; 0): по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; 14): по ветвям 2 + 2 = 4 точки.

m = 14: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (14; 254): по ветвям 0 + 2 = 2 точки.

m = 254: по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m ∈ (254; +∞): по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {0; 14}.