Задание 89C3D3: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = x² + 4x − 1 при x ≥ −4. Выделяем квадрат: y = (x + 2)² − 5. Вершина полной параболы: (−2; −5), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = −2 ± √m + 5; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−4; −1) включена.

Ветвь 2: y = x при x < −4. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = m; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (−4; −4) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −5, −4, −1. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −5): по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m = −5: по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (−5; −4): по ветвям 2 + 1 = 3 точки.

m = −4: по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m ∈ (−4; −1): по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m = −1: по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m ∈ (−1; +∞): по ветвям 1 + 0 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−5} ∪ [−4; −1].