Задание 84B967: Геометрические фигуры и их свойства

1. Обозначим BH высоту из B, где H лежит на прямой AC, а M — точку её пересечения с биссектрисой угла A. По условию BM : MH = 5 : 3, причём M лежит между B и H. Поэтому луч AH совпадает с AC, а угол A острый: в прямоугольном треугольнике ABH биссектриса из A проходит через M.

2. По теореме о биссектрисе в треугольнике ABH имеем AB : AH = BM : MH = 5 : 3. Следовательно, cos A = AHAB = 35.

3. Найдём синус по основному тригонометрическому тождеству. Так как угол A острый, синус положителен:

sin A = √1 − cos² A = √5² − 3²5 = √165 = 45.

4. По расширенной теореме синусов BC = 2R sin A, где R — радиус описанной окружности. Отсюда R = BC2 sin A.

Подставляем: R = 8 · 52 · 4 = 5.

Проверка: 2R sin A = 2 · 5 · 45 = 8 = BC. Также 3² + 4² = 5², поэтому найденные синус и косинус удовлетворяют основному тождеству.

Ответ: 5.