Задание 817AD0: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
3x²+2y²=45;
9x²+6y²=45x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 3. Умножим всё первое равенство на 3 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−45x + 135 = 0.
Отсюда −45x = −135, поэтому x = −135−45 = 3.

3. Подставим x = 3 в первое уравнение:
3 · (3)² + 2y² = 45.
2y² = 45 − 27 = 18.
y² = 9 = 3², поэтому y = −3 или y = 3. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (3; −3):
3(3)²+2(−3)² = 45, 45 = 45;
9(3)²+6(−3)² = 135, 45(3) = 135.
Пара (3; 3):
3(3)²+2(3)² = 45, 45 = 45;
9(3)²+6(3)² = 135, 45(3) = 135.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (3; −3); (3; 3).