Задание 7D84CB: Окружность и круг

1. Продлим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке T за меньшим основанием BC. Сумма углов при основании AD равна 90°, поэтому в треугольнике ATD угол T прямой: TA ⟂ TD.

2. Из BC ∥ AD следует подобие треугольников TBC и TAD. Поэтому TBTA = BCAD = 1236. Кроме того, TA − TB = AB = 13.

3. Отсюда TA = AB · ADAD − BC = 19,5, TB = TA − AB = 6,5.

4. Пусть K — центр искомой окружности, H — середина хорды AB. Прямая KH перпендикулярна AB. Поскольку TA перпендикулярна TD, прямая KH параллельна TD, и расстояние от K до прямой CD равно TH. При касании это расстояние равно радиусу R.

5. Точка B лежит между T и A, поэтому R = TH = TA + TB2 = 19,5 + 6,52 = 13.

Проверка: TA − TB = 13 = AB, и отношение TB:TA совпадает с BC:AD. Кроме того, R² − AH² = 126,75 = TA · TB положительно, поэтому положение центра и касание возможны.

Ответ: 13.