Задание 7A30BC: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. В исходном уравнении есть знаменатели x и (x)². Они не должны быть равны нулю, поэтому область допустимых значений: x ≠ 0.

2. Введём t = 1x. При допустимом x новая переменная не равна нулю, а 1(x)² = t². Уравнение принимает вид:
t² + 4t − 12 = 0.
D = (4)² − 4 · (1) · (−12) = 64.
√64 = 8. По формуле корней t = −(4) ± 82 · (1).
Получаем t = −6, t = 2.

3. Все найденные значения t ненулевые. Вернёмся к x из равенства x = 1t:
t = −6: x = 1−6 = −16, поэтому x = 0 + (−16) = −16.
t = 2: x = 12 = 12, поэтому x = 0 + (12) = 12.

4. Проверка области и подстановка в исходную левую часть:
x = −16: x = −16 не равно нулю; 1(−16)² + (4) · 1−16 + (−12) = 36 + (−24) + (−12) = 0.
x = 12: x = 12 не равно нулю; 1(12)² + (4) · 112 + (−12) = 4 + (8) + (−12) = 0.
Каждое значение удовлетворяет исходному уравнению. Замена обратима при t ≠ 0 и x ≠ 0, поэтому список корней полный.

Ответ: −16; 12.