Задание 7493BA: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = x − 4 при x < 3. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = m + 4; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; −1) выколота.

Ветвь 2: y = −32x + 92 при 3 ≤ x ≤ 4. Это убывающая прямая. Из y = m получаем x = −23m + 3; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; 0) включена, (4; −32) включена.

Ветвь 3: y = 32x − 152 при x > 4. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 23m + 5; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (4; −32) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −32, −1, 0. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −32): по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m = −32: по ветвям 1 + 1 + 0 = 2 точки.

m ∈ (−32; −1): по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m = −1: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (−1; 0): по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m = 0: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (0; +∞): по ветвям 0 + 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−32} ∪ [−1; 0].