Задание 72120D: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
10 = 2 · 5.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 8 − 7 = 1.
Для основания 3: 8 − 6 = 2.
Для основания 5: 8 − 7 = 1.
После сокращения получаем 2 · 3² · 5.
2 · 3² · 5 = 90.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 656100000000, знаменатель — 7290000000. Их отношение: 6561000000007290000000 = 90.
Получено то же значение 90. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 90.