Задание 701E1F: Окружность и круг

1. Пусть E — точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной AC. Тогда OE ⟂ AC, OE = r. Из прямоугольного треугольника AOE находим длину касательной AE.

2. AE = √AO² − OE² = √25 − 9 = 4. Расстояние от O до BC тоже равно r. Так как BC ∥ AD и O лежит между этими прямыми, высота параллелограмма H = d + r = 4 + 3 = 7.

3. Обозначим BC через a, а AE через x. Равенство отрезков касательных из каждой вершины даёт AB + AC = BC + 2x. Значит, полупериметр треугольника ABC равен p = a + x.

4. Вычислим его площадь двумя способами: Sт = aH2 и Sт = rp = r(a + x). Следовательно, a(H − 2r) = 2rx, откуда a = 2rxd − r.

5. BC = 2 · 3 · 44 − 3 = 24. Искомая площадь параллелограмма S = BC · H = 24 · 7 = 168.

Проверка: половина площади равна 84, и r(BC + AE) = 3 · (24 + 4) = 84. Также AE² + r² = 25 = AO².

Ответ: 168.