Задание 6E9B8E: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
4 = 2².
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 14 − 10 = 4.
Для основания 5: 7 − 7 = 0.
После сокращения получаем 2⁴.
2⁴ = 16.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 1280000000, знаменатель — 80000000. Их отношение: 128000000080000000 = 16.
Получено то же значение 16. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 16.