Задание 6CEBED: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −17(x + 3)² − 7 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ −3 − √7, x ≠ −3 + √7. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −17(x + 3)² − 7 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x + 3)² − 7 = x² + 6 · x + 2.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −17x² + 6 · x + 2; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² + 6 · x + 2: D = (6)² − 4 · (1) · (2) = 28.
По формуле x = −(6) ± 2 · √72 · (1) получаем x = −3 − √7, x = −3 + √7.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −3 − √7, −3 + √7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −3 − √7): при x = −7 получаем f(x) = −179, знак отрицателен.
(−3 − √7; −3 + √7): при x = −5 получаем f(x) = 173, знак положителен.
(−3 + √7; +∞): при x = 1 получаем f(x) = −179, знак отрицателен.
x = −3 − √7 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = −3 + √7 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−3 − √7; −3 + √7).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−3 − √7; −3 + √7).