Задание 484B3D: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −18(x + 4)² − 10 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ −4 − √10, x ≠ −4 + √10. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −18(x + 4)² − 10 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x + 4)² − 10 = x² + 8 · x + 6.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −18x² + 8 · x + 6; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² + 8 · x + 6: D = (8)² − 4 · (1) · (6) = 40.
По формуле x = −(8) ± 2 · √102 · (1) получаем x = −4 − √10, x = −4 + √10.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4 − √10, −4 + √10.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4 − √10): при x = −9 получаем f(x) = −1,2, знак отрицателен.
(−4 − √10; −4 + √10): при x = −7 получаем f(x) = 18, знак положителен.
(−4 + √10; +∞): при x = 1 получаем f(x) = −1,2, знак отрицателен.
x = −4 − √10 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = −4 + √10 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−4 − √10; −4 + √10).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−4 − √10; −4 + √10).