Задание 6B6359: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
6 = 2 · 3.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 7 + 7 − 5 − 6 = 3.
Для основания 3: 7 − 6 = 1.
После сокращения получаем 2³ · 3.
2³ · 3 = 24.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 35831808, знаменатель — 1492992. Их отношение: 358318081492992 = 24.
Получено то же значение 24. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 24.