Задание 68001C: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = x² − 8x + 14 при x ≥ 3. Выделяем квадрат: y = (x − 4)² − 2. Вершина полной параболы: (4; −2), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = 4 ± √m + 2; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (3; −1) включена.

Ветвь 2: y = x − 2 при x < 3. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = m + 2; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; 1) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −2, −1, 1. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −2): по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m = −2: по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (−2; −1): по ветвям 2 + 1 = 3 точки.

m = −1: по ветвям 2 + 1 = 3 точки.

m ∈ (−1; 1): по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m = 1: по ветвям 1 + 0 = 1 точка.

m ∈ (1; +∞): по ветвям 1 + 0 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−2} ∪ (−1; 1).