Задание 632946: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=−2−x+4x²+4x.

Область определения: x ≠ −4, x ≠ 0. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

В дробной части знаменатель равен x, умноженному на её числитель. Сокращение даёт y = −2 − 1x с прежними ограничениями. Получаем гиперболу с асимптотами x = 0, y = −2 и выколотой точкой (−4; −74).

2. Решим уравнение пересечения: −2 − 1x = m. При m = −2 оно невозможно, так как обратное ненулевому числу не равно нулю.

При m ≠ −2 существует ровно один кандидат x = 1−2 − m. Он ненулевой и будет исключён только при x = −4. Подстановка даёт m = −2 − 1−4 = −74.

Проверка: одно найденное значение — ордината горизонтальной асимптоты, второе — ордината единственной удалённой точки. Для всех остальных m найденный x допустим, поэтому пересечение есть.

Ответ: m ∈ {−2; −74}.