Задание 6250F0: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(x²+4)(x+1)−1−x.

Область определения: x ≠ −1. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Множители (x + 1) и (−1 − x) противоположны, поэтому после сокращения y = −x² − 4, x ≠ −1. Это парабола с вершиной (0; −4), ветвями вниз и выколотой точкой (−1; −5).

2. Точки пересечения с y = kx удовлетворяют уравнению −x² − 4 = kx, то есть x² + kx + 4 = 0. Дискриминант D = k² − 16.

При D < 0 пересечений нет. При D = 0 получаем k = ±4 и единственный корень x = −k2. Для k = −4 корень равен 2, для k = 4 — −2. Оба корня отличаются от запрещённого −1, поэтому оба значения k подходят.

При D > 0 есть два различных корня. Ровно одно пересечение останется лишь тогда, когда один корень равен исключённому h = −1. Подставляем его: h² + kh + 4 = 0, откуда k = −h² + 4h = 5. Второй корень по произведению корней равен −4 и допустим.

Проверка: для k = 5 дискриминант равен 9 > 0; корни −1 и −4 различны. Первый удалён из графика, второй остаётся. Других способов получить ровно одну точку нет.

Ответ: k ∈ {−4; 4; 5}.