Задание 5FF975: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: (−∞; 0] ∪ [4; +∞). Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² − 16 ≤ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 16 − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 16 = (x − 4) · (x + 4).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 4) · (x + 4); требуется f(x) ≤ 0.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = 9, знак положителен.
(−4; 4): при x = −3 получаем f(x) = −7, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 9, знак положителен.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: [−4; 4].

3. Вариант 2: x² − 4 · x ≤ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 4 · x − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 4 · x = x · (x − 4).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x · (x − 4); требуется f(x) ≤ 0.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = 5, знак положителен.
(0; 4): при x = 1 получаем f(x) = −3, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 5, знак положителен.
x = 0 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: [0; 4].

4. Вариант 3: x² − 4 · x ≥ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 4 · x − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 4 · x = x · (x − 4).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x · (x − 4); требуется f(x) ≥ 0.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = 5, знак положителен.
(0; 4): при x = 1 получаем f(x) = −3, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 5, знак положителен.
x = 0 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: (−∞; 0] ∪ [4; +∞).

5. Вариант 4: x² − 16 ≥ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 16 − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 16 = (x − 4) · (x + 4).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 4) · (x + 4); требуется f(x) ≥ 0.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = 9, знак положителен.
(−4; 4): при x = −3 получаем f(x) = −7, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 9, знак положителен.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: (−∞; −4] ∪ [4; +∞).

6. Только вариант 3 даёт в точности отмеченное на рисунке множество (−∞; 0] ∪ [4; +∞).

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; 0] ∪ [4; +∞) соответствует вариант 3.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 3.