Задание 5FF5AA: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
21 = 3 · 7.
(21¹⁰)⁻¹ = 21⁻¹⁰.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 3: 13 − 10 = 3.
Для основания 7: 10 − 10 = 0.
После сокращения получаем 3³.
3³ = 27.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 450356786411427, знаменатель — 16679880978201. Их отношение: 45035678641142716679880978201 = 27.
Получено то же значение 27. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 27.