Задание 5A5902: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=|x| · (x+1)−3x.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = −x² − 4x при x < 0. Выделяем квадрат: y = −(x + 2)² + 4. Вершина полной параболы: (−2; 4), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = −2 ± √−m + 4; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (0; 0) выколота.

Ветвь 2: y = x² − 2x при x ≥ 0. Выделяем квадрат: y = (x − 1)² − 1. Вершина полной параболы: (1; −1), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = 1 ± √m + 1; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (0; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −1, 0, 4. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −1): по ветвям 1 + 0 = 1 точка.

m = −1: по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (−1; 0): по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; 4): по ветвям 2 + 1 = 3 точки.

m = 4: по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (4; +∞): по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−1; 4}.