Задание 541E78: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение (x−1)(x²+8x+16)=6(x+4) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 8x + 16 = (x + 4)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 4) · ((x−1) · (x + 4) − 6) = 0.
На x + 4 не делим: иначе можно потерять корень x = −4.

3. Первый множитель даёт x = −4. Второй даёт уравнение (x−1) · (x + 4) − 6 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² + 3x − 10 = 0.
D = (3)² − 4 · (1) · (−10) = 49.
√49 = 7. По формуле корней x = −(3) ± 72 · (1).
Получаем x = −5, x = 2.

4. Объединим полученные значения: −5, −4, 2. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −5: слева ((−5)−1)((−5)²+8(−5)+16) = −6; справа 6((−5)+4) = −6.
x = −4: слева ((−4)−1)((−4)²+8(−4)+16) = 0; справа 6((−4)+4) = 0.
x = 2: слева ((2)−1)((2)²+8(2)+16) = 36; справа 6((2)+4) = 36.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −5; −4; 2.